نسبت طلایی

نسبت طلایی ، که اغلب از آن به عنوان میانگین طلایی ، نسبت الهی یا بخش طلایی یاد می شود ، یک ویژگی خاص است که توسط نماد مشخص می شود و تقریباً برابر با 1. 618 است. مطالعه بسیاری از سازندهای ویژه می تواند با استفاده از توالی های ویژه مانند توالی فیبوناچی و ویژگی هایی مانند نسبت طلایی انجام شود.

این نسبت در هنرهای مختلف ، معماری و طرح ها یافت می شود. بسیاری از معماری های تحسین برانگیز مانند هرم بزرگ مصر ، پارتنون ، یا به طور جزئی یا کاملاً طراحی شده اند تا نسبت طلایی در ساختار خود را منعکس کنند. هنرمندان بزرگی مانند لئوناردو داوینچی در تعدادی از شاهکارهای خود از نسبت طلایی استفاده کردند و در دهه 1500 به عنوان "نسبت الهی" شناخته می شد. بگذارید در مورد نسبت طلایی در این درس اطلاعات بیشتری کسب کنیم.

نسبت طلایی چیست؟

نسبت طلایی ، که از آن به عنوان میانگین طلایی ، نسبت الهی یا بخش طلایی نیز یاد می شود ، بین دو مقدار وجود دارد اگر نسبت آنها برابر با نسبت مبلغ آنها به مقدار بیشتر بین این دو باشد. با اشاره به این تعریف ، اگر یک خط را به دو قسمت تقسیم کنیم ، قطعات در نسبت طلایی قرار می گیرند اگر:

نسبت طول قسمت طولانی تر ، بگویید "a" به طول قسمت کوتاه تر ، بگویید "B" برابر با نسبت مبلغ آنها "(A + B)" به طول طولانی تر است.

برای درک بهتر مفهوم فوق به نمودار زیر مراجعه کنید:

با استفاده از نامه یونانی ، به عنوان "phi" مشخص می شود. مقدار تقریبی ϕ برابر با 1. 61803398875 است. این برنامه در هندسه ، هنر ، معماری و سایر مناطق کاربردی پیدا می کند. بنابراین ، معادله زیر رابطه را برای محاسبه نسبت طلایی تعیین می کند: ϕ = a/b = (a + b)/a = 1. 6180339875. جایی که A و B ابعاد دو مقدار و A در بین این دو بزرگتر است.

تعریف نسبت طلایی

هنگامی که یک خط به دو قسمت تقسیم می شود ، قسمت طولانی که بر اساس قسمت کوتاه تقسیم می شود برابر با کل طول تقسیم شده توسط قسمت طولانی است به عنوان نسبت طلایی تعریف می شود. در زیر ذکر شده است که نسبت طلایی در نمونه های معماری و هنر.

کاربردهای بسیاری از نسبت طلایی در زمینه معماری وجود دارد. بسیاری از شگفتی های معماری مانند مسجد بزرگ Kairouan ساخته شده است تا منعکس کننده نسبت طلایی در ساختار آنها باشد. هنرمندانی مانند لئوناردو داوینچی ، رافائل ، ساندرو بوتیچلی و ژرژ سورات از این به عنوان یک ویژگی در آثار هنری خود استفاده کردند.

فرمول نسبت طلایی

برای محاسبه مقدار نسبت طلایی می توان از فرمول نسبت طلایی استفاده کرد. معادله نسبت طلایی برای یافتن فرمول کلی برای محاسبه نسبت طلایی به دست آمده است.

معادله نسبت طلایی

از تعریف نسبت طلایی ،

از این معادله ، دو معادله دریافت می کنیم:

از معادله (1) ،

این را در معادله (2) جایگزین کنید.

چگونه می توان نسبت طلایی را محاسبه کرد؟

مقدار نسبت طلایی را می توان با استفاده از روشهای مختلف محاسبه کرد. بگذارید با یک مورد اساسی شروع کنیم.

روش ضربه و آزمایشی

ما یک مقدار دلخواه ثابت را حدس می زنیم ، سپس این مراحل را برای محاسبه مقدار نزدیکتر در هر تکرار دنبال خواهیم کرد.

• معکوس ضرب معکوس مقدار حدس زده شده ، یعنی 1/مقدار را محاسبه کنید. این مقدار اولین دوره ما خواهد بود.
• با افزودن 1 به معکوس چند برابر آن مقدار ، اصطلاح دیگری را محاسبه کنید.
• هر دو اصطلاح به دست آمده در مراحل فوق باید برابر باشند. اگر اینگونه نباشد ، ما این روند را تکرار خواهیم کرد تا اینکه برای هر دو اصطلاح مقدار تقریباً مساوی بدست آوریم.
• برای تکرار دوم ، ما از مقدار فرضی برابر با اصطلاح 2 به دست آمده در مرحله 2 و غیره استفاده خواهیم کرد.

مثلا،

از آنجا که ϕ = 1 + 1/ϕ ، باید بیشتر از 1 باشد. بگذارید با ارزش 1. 5 به عنوان اولین حدس خود شروع کنیم.

• ترم 1 = معکوس ضرب 1. 5 = 1/1. 5 = 0. 6666.
• ترم 2 = معکوس ضرب 1. 5 + 1 = 0. 6666 .. + 1 = 1. 6666.

از آنجا که هر دو اصطلاح برابر نیستند ، ما این روند را دوباره با استفاده از مقدار فرض شده برابر با مدت 2 تکرار خواهیم کرد.

جدول زیر داده های محاسبات را برای تمام مقادیر فرضی نشان می دهد تا زمانی که شرایط مساوی مورد نظر را بدست آوریم:

هرچه تکرار بیشتر دنبال کنید ، مقدار تقریبی به یک دقیق نزدیک تر خواهد بود. روشهای دیگر روشی کارآمدتر برای محاسبه مقدار دقیق ارائه می دهند.

معادله نسبت طلایی

روش دیگر برای محاسبه مقدار نسبت طلایی با حل معادله نسبت طلایی است.

ضرب هر دو طرف توسط

در تنظیم مجدد ، ما دریافت می کنیم ،

معادله فوق یک معادله درجه دوم است و با استفاده از فرمول درجه دوم قابل حل است:

جایگزین مقادیر a = 1 ، b = -1 و c = -1 ، ما می گیریم ،

راه حل را می توان به یک مقدار مثبت ارائه داد:

توجه داشته باشید که ما مقدار منفی را در نظر نمی گیریم ، زیرا ( phi ) نسبت طول است و نمی تواند منفی باشد.

بنابراین ، ϕ = 1/2 + √5/2

مستطیل طلایی چیست؟

در هندسه ، یک مستطیل طلایی به عنوان مستطیل تعریف می شود که طول آن در نسبت طلایی قرار دارد. مستطیل طلایی شکل بسیار ویژه ای از خود را از خود نشان می دهد. تمام مستطیل هایی که با افزودن یا از بین بردن مربع ایجاد می شوند ، مستطیل های طلایی نیز هستند.

ساخت مستطیل طلایی

ما می توانیم با استفاده از مراحل زیر یک مستطیل طلایی بسازیم:

• مرحله 1: اول ، ما یک مربع از 1 واحد را ترسیم خواهیم کرد. در یکی از طرف های خود ، یک نقطه در وسط قرار بگیرید. اکنون ، ما یک خط از این نقطه به گوشه ای از طرف دیگر ترسیم خواهیم کرد.

• مرحله 2: با استفاده از این خط به عنوان شعاع و نقطه ای که در وسط مرکز قرار گرفته است ، یک قوس را در کنار مربع بکشید. طول این قوس را می توان با استفاده از قضیه فیثاغورس محاسبه کرد: √ (1/2) 2 + (1) 2 = √5/2 واحد.
• مرحله 3: از تقاطع این قوس و سمت مربع استفاده کنید تا مستطیل را همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است بکشید:

این یک مستطیل طلایی است زیرا ابعاد آن در نسبت طلایی قرار دارد. یعنی ، ϕ = (5/2 + 1/2)/1 = 1. 61803

دنباله فیبوناچی چیست؟

دنباله Fibonacci یک سری ویژه از اعداد است که در آن هر اصطلاح (از دوره سوم شروع می شود) مجموع دو اصطلاح قبلی آن است. مراحل زیر را می توان برای یافتن دنباله فیبوناچی استفاده کرد:

• ما با گرفتن 0 و 1 به عنوان دو اصطلاح اول شروع می کنیم.
• اصطلاح سوم 1 ، با افزودن 0 و 1 محاسبه می شود.
• به طور مشابه ، اصطلاح بعدی = 1 + 2 = 3 و غیره.

توالی فیبوناچی به این ترتیب به عنوان ، 0 ، 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21. و غیره آورده شده است. دنباله فیبوناچی و نسبت طلایی رابطه خاصی بین آنها دارند. از آنجا که ما شروع به محاسبه نسبت های دو اصطلاح پی در پی در یک سری فیبوناچی می کنیم ، مقدار هر نسبت بعدی به مقدار دقیق ϕ نزدیکتر می شود.

مثلا،

جدول زیر مقادیر نسبت های نزدیکتر به تقریب نزدیک به مقدار ϕ را نشان می دهد. جدول زیر مقادیر نسبت های نزدیکتر به تقریب نزدیک به مقدار ϕ را نشان می دهد.

مباحث مربوطه

در زیر لیست مباحثی که از نزدیک به نسبت طلایی متصل هستند ، آورده شده است. این مباحث همچنین نگاهی اجمالی به نحوه پوشش چنین مفاهیمی در Cuemath می دهد.

• منظور داشتن
• نسبت
• اعداد فیبوناچی
• معادلات درجه دوم
• نسبت ، نسبت ، درصد فرمول ها

نمونه های نسبت طلایی

Example 1: Calculate the value of the golden ratio ϕ using quadratic equations. Solution: We know, ϕ = 1 + 1/ϕ Multiplying both sides by ϕ, ϕ 2 = ϕ + 1 On rearranging, we get, ϕ 2 - ϕ -1 = 0 The above equation is a quadratic equation and can be solved using quadratic formula: ϕ = (frac>) Substituting the values of a = 1, b = -1 and c = -1, we get, ϕ = (frac>) راه حل را می توان به یک مقدار مثبت ساده کرد: ϕ = 1/2 + √5/2 توجه داشته باشید که ما مقدار منفی را در نظر نمی گیریم ، زیرا نسبت طول طول است و نمی تواند منفی باشد. بنابراین ، ϕ = 1/2 + √5/2

مثال 2: کاربردهای مختلف نسبت طلایی در زندگی روزمره ما چیست؟راه حل: نسبت طلایی یک نسبت ریاضی است که معمولاً در طبیعت یافت می شود و در هنگام استفاده از یک طراحی ، ترکیبات طبیعی را تقویت می کند که از چشم لذت بخش است. کاربردهای بسیاری از نسبت طلایی در زمینه معماری وجود دارد. به عنوان مثال ، هرم بزرگ مصر و مسجد بزرگ Kairouan تعدادی از شگفتی های معماری است که در آن از مفهوم نسبت طلایی استفاده شده است. هنرمندانی مانند لئوناردو داوینچی ، رافائل ، ساندرو بوتیچلی و ژرژ سورات از این نسبت به عنوان یک ویژگی در آثار هنری خود استفاده کردند. می توان از آن برای مطالعه ساختار بسیاری از اشیاء در زندگی روزمره ما استفاده کرد که شبیه یک الگوی خاص است

مثال 3: دوره چهاردهم در دنباله 377 است. اصطلاح بعدی را پیدا کنید. راه حل: ما می دانیم که ترم 15th = 14 ترم × نسبت طلایی. (f_ ) = 377 × 1. 618034 ≈ 609. 99 = 610 بنابراین ، اصطلاح 15 در دنباله فیبوناچی 610 است.

Show Solutions>

تفکیک مفاهیم سخت از طریق تصاویر ساده.

ریاضی دیگر موضوع سختی نخواهد بود ، به خصوص وقتی که مفاهیم را از طریق تجسم درک می کنید.