رعد و برق و قلب: رفتار فراکتالی در عملکرد قلبی

مرکز مهندسی زیستی ، دانشگاه واشنگتن ، سیاتل ، WA 98195 ، ایالات متحده.

مقالاتی از جیمز B. Bassingthwaighte پیدا کنید

J. H. G. M. Van Beek

آزمایشگاه فیزیولوژی ، دانشگاه رایگان ، آمستردام ، هلند.

مقالات J. H. G. M. Van Beek را پیدا کنید

جیمز B. Bassingthwaighte ، مرکز مهندسی زیستی ، دانشگاه واشنگتن ، سیاتل ، WA 98195 ، ایالات متحده.

خلاصه

سیستم های فیزیکی ، از خوشه های کهکشانی گرفته تا مولکولهای پراکنده ، اغلب رفتار فراکتالی را نشان می دهند. به همین ترتیب ، سیستم های زندگی اغلب ممکن است توسط الگوریتم های فراکتال به خوبی توصیف شوند. چنین توصیفات فراکتالی در فضا و زمان حاکی از آن است که نظم در هرج و مرج وجود دارد ، یا راه دیگر را در اطراف خود قرار می دهد ، سیستم های دینامیکی هرج و مرج در زیست شناسی محدودتر و منظم تر از آنچه در نگاه اول دیده می شود. شبکه عروقی ، همگرایی سلول ها ، فرآیندهای انتشار و حمل و نقل ترانسمیبرن ممکن است از ویژگی های فراکتالی قلب باشد. این ویژگی های فراکتال مبنایی را فراهم می کند که فرد را قادر می سازد جنبه های خاصی از رفتار جهانی تر مانند فیبریلاسیون دهلیزی یا بطنی و ناهمگونی پرفیوژن را درک کند. قلب ممکن است از این دیدگاه ها به عنوان یک ارگان نمونه اولیه در نظر گرفته شود. یک نمونه خاص از استفاده از هندسه فراکتال در توضیح ناهمگونی جریان میوکارد از طریق تحویل خون از طریق یک شبکه انشعاب فراکتال نامتقارن است.

معرفی

ایده های کلی سیستم های فراکتال با قدرت و شور و شوق توسط ماندلبروت توصیف شده است [15] ، [16]. الگوریتم های فراکتال توصیفی بسیاری از فرآیندهای طبیعت است. در افراط و تفریط توضیحات گسترش کهکشان ها توسط ویکسک و سزالی [26a] و انتشار مولکولی [5]. ایده پدیده های بازگشتی منجر به ویژگی های جالب ریاضی جدید نیست (به عنوان مثال ، [9]) اما کاربرد در محدوده گسترده پدیده ها در سیستم های فیزیکی و بیولوژیکی اخیر است و واقعاً از نوشته های گسترده Mandelbrot الهام گرفته شده است.

مقدمه ای بر ریاضیات فراکتال ها ، و تصاویر گسترده و زیبا از مجموعه Mandelbrot توسط Peitgen و Richter آورده شده است [18]. بیان اصلی فراکتال عبارتی خلاصه کننده است که یک بازگشت را توصیف می کند. چنین عباراتی برای تعریف ارقام نشان می دهد که مقادیر "نامحدود" جزئیات را نشان می دهد و دارای مرزهای پیچیده "بی نهایت" با طول "نامحدود" است. بسیاری از فراکتال ها نوعی ساختار یا پویایی را نشان می دهند که در طیف گسترده ای از مقیاس به نظر می رسد و دارای ویژگی هایی هستند که در هر سطح از مقیاس نسبت به مقیاس مشاهده یکسان هستند. برای یک متغیر یک بعدی بازگشت است

ایکس_{n +1}= F (x_حرف، ج).

مقدار (N + 1) از ویژگی بازگشتی تابعی از مقدار n th به علاوه یک ثابت است. بازگشت ممکن است قطعی ، تصادفی یا ترکیبی از هر دو ، به عنوان مثال ، قطعی با پراکندگی یک فرم مشخص باشد. نمونه ای از بازگشت کاملاً قطعی به سادگی z n + 1 = z n 2 + c است ، جایی که z و c اعداد پیچیده هستند. این بازگشتی به عنوان پایه ای برای تعریف هر دو مجموعه Mandelbrot و مجموعه های جولیا است. این مجموعه های فراکتال به تصویر کشیده شده در هواپیمای پیچیده ، شکل نامنظم را نشان می دهد ، با مرز پیچیدگی "نامحدود". به Peitgen و Richter [18] نه تنها برای تصاویر ، بلکه برای توضیح شفاف مراجعه کنید. نمونه های دیگر الگوریتم های بازگشتی است که برای تولید درختان فراکتال برای تصاویر متحرک استفاده می شود. اگر پارامترها از طریق نسل های مختلف انشعاب ثابت بمانند ، یک درخت معمولی شبیه به یک سرخس ظاهر می شود. اگر پارامترهای هر انشعاب تصادفی باشد ، می توان درختان نامنظم و غلیظ تولید کرد [17].

طول فراکتال

نمونه های ساده از اقدامات فراکتال در طول خط ساحلی به عنوان مثال یا طول مسیر گرفته شده توسط یک پیچ صاعقه یافت می شود. Mandelbrot [16] نشان می دهد که طول ظاهری یک خط ساحلی (L) به طول چوب اندازه گیری بستگی دارد (∈) ، طول ساحل ظاهری در هنگام استفاده از چوب اندازه گیری کوتاهتر طولانی تر است. توصیف کننده طول ظاهری توسط

l (∊) = l (∊ 0) ⋅ (∊ ∊ 0) 1 - d.

نقطه مرجع در₀دلخواه استدلیل این امر این است که وقتی فرد از چوب اندازه گیری طولانی استفاده می کند ، خلیج ها ، ورودی ها و پیشگامانی را که می توان با استفاده از میله های اندازه گیری کوتاهتر و کوتاه تر گنجانده شد ، از دست می دهد و از این طریق به طول اضافه می شود.

نمونه ای از پیچ رعد و برق در سیاتل در شکل 1 نشان داده شده است. طول پیچ رعد و برق را می توان با استفاده از حاکمان با کاهش طول از عکس اندازه گیری کرد که اقدامات افزایش یافته از طول کل را نشان می دهد. برای این پیچ رعد و برق ، ما مقیاس واقعی برای تصویر نداریم ، اما این هیچ نتیجه ای در تعیین بعد فراکتال d نیست_Lبشرشکل 1 (پانل سمت راست) رابطه تقریباً مستقیم خط بین طول تخمین زده شده از پیچ رعد و برق و طول اندازه گیری چوب را نشان می دهد.

سمت چپ: رعد و برق بیش از سیاتل.(عکس توسط گرگ گیلبرت ، سیاتل تایمز. منتشر شده با اجازه.) سمت راست: طول ظاهری پیچ رعد و برق یک عملکرد فراکتالی از طول چوب اندازه گیری است.

یکی دیگر از نمونه های کاملاً ریاضی از یک فراکتال ، برف کچ است که از یک مثلث یک طرفه گرفته شده است. بازگشت این است که سوم میانی هر بخش خط مستقیم را به دست بیاورید و طول آن سوم را با تشکیل یک مثلث دو طرفه با بخش برداشته شده دو برابر کنید (شکل 2 را ببینید) ، و مثلث را از مرکز مثلث دو طرفه اصلی نشان می دهد. این infinitu تبلیغ مکرر در هر بخش خط مستقیم است (شکل 2 را ببینید). طول دور به طول اصلی 4/3 به قدرت نامتناهی تبدیل می شود و D (نگاه کنید به (2)) 1. 2619 است که log4/log3 است. با این حال ، منطقه ای که توسط برف برف شامل می شود ، فقط به 1. 6 برابر مساحت اصلی مثلث دو طرفه اولیه می رود.

طولانی شدن بازگشتی خط. سمت چپ: تعویض وسط 1/3 توسط دو خط مستقیم طول هر تکرار را 4/3 افزایش می دهد. سمت راست: شروع با یک مثلث دو طرفه ، برف کچ را می بخشد.

انسجام یا همبستگی در سیستم های فراکتال دلالت دارد. در یک کوه فراکتال همبستگی مکانی بین ارتفاعات قله ها وجود دارد که خیلی از یکدیگر فاصله ندارند و وقوع اوج ارتفاع مشابه با افزایش فاصله از نقطه شروع ، کمتر و کمتر می شود. انسجام مشابه در تراکم جمعیت مشاهده می شود. در همسایگی با تراکم جمعیت بالا ، جمعیت احتمالاً متراکم خواهد بود در حالی که در محله منطقه کم چگالی جمعیت احتمالاً جمعیت پراکنده است. خواهیم دید که در قلب این امر در مورد جریان خون میوکارد منطقه ای نیز صدق می کند.

زمان فراکتالی

نویز گاوسی در سیگنال به اندازه کافی رایج است. با استفاده از بازه های زمانی کوتاه تر و کوتاه تر برای میانگین سیگنال نویز، واریانس با کاهش اندازه فاصله افزایش می یابد. به نظر می رسد که فراکتال D در (2)، با L (∈) با واریانس و ∈ با طول بازه زمانی، 2. 0 است، درست همانطور که برای طول مسیر به دلیل حرکت براونی است. به نظر می رسد رویدادهای دینامیکی که مقیاس زمانی فراکتال را نشان می دهند با توجه به واکنش هایی با مولکول های بزرگ مانند آنزیم ها نیز رخ می دهند [3].

محدودیت های طبیعت فراکتال

از نظر ریاضی، قانون بازگشتی برای یک سیستم فراکتال تا بی نهایت ادامه دارد. در دنیای فیزیکی، محدودیت هایی وجود دارد. خوشه بندی کهکشانی از قوانین فراکتالی برای بیش از دو مرتبه قدر پیروی می کند، اما در فواصل بزرگ تر این کار را انجام نمی دهد [14]. به همین ترتیب، به نظر می رسد طول خطوط ساحلی افزایش می یابد تا زمانی که فرد به سطح دانه ها یا اتم های ماسه برسد، که فراتر از آن، تعریف طول ساحل معنی ندارد. قوانین فراکتال در هر دو انتهای مقیاس شکست می خورند.

نوسانات زمانی نیز محدودیت های محدود خود را دارند. به طور کلی، نوسانات در سیستم های فیزیکی یا سیستم های شیمیایی انرژی مصرف می کنند و هر چه این نوسانات سریع تر باشد، انرژی بیشتری مورد نیاز است. در یک جریان نوسانی در یک لوله، دامنه های بزرگ در فرکانس بالا حاکی از مقدار زیادی انرژی جنبشی است، بنابراین دامنه ها باید در فرکانس های بسیار بالا به طور محو شونده کوچک شوند. ما فکر می کنیم که می توان تعمیم داد و گفت که هیچ سیستمی در طبیعت فرکتال تا صفر یا بی نهایت نیست.

قلب

درختان گیاه شناسی و آوندی

شکل درختان، سرخس ها، مرجان ها و سایر سیستم های رشد به خوبی توسط فراکتال ها توصیف می شوند. لوکاس فیلمز (اکنون پیکسار)، انیماتور جنگ ستارگان، از الگوریتم های فراکتال برای ایجاد درخت هایی با انواع مختلف برای مناظر استفاده می کند[4]. رشد فراکتال مورد بررسی قرار گرفته است [20]. قوانین تولید یا دستور زبان [12a] و برخی از تصاویر بسیار زیبا از گیاهان فراکتال یا گرافت توسط اسمیت [22] ارائه شده است. درخت آوندی در قلب، که در شکل 3 نشان داده شده است، تفاوت چندانی با برخی از این درختان مصنوعی ندارد. این خیلی تعجب آور نیست وقتی که درک کنیم که رشد عروقی با جوانه زدن مویرگ ها به مناطق تقسیم و تمایز سلولی انجام می شود. با این حال، به سختی تعجب آور خواهد بود که انحرافاتی در الگوهای عروقی برای نسل های بالای انشعاب وجود داشته باشد، زیرا فضای رشد به حد مجاز نزدیک می شود.

عروق میوکارد چینچیلا. بافت دست نخورده است و فضای عروقی با الاستومر سیلیکونی، میکروفیل پر شده است و بافت خارج عروقی با پاکسازی با الکل و متیل سالیسیلات شفاف می شود. فواصل کوتاه در مقیاس 1 میلی متر است.

اکثر فیزیولوژیست ها انتظار دارند که جریان در قلب یکنواخت باشد، زیرا به طور منظم در سراسر منقبض می شود و برای انجام کار به انرژی زیادی نیاز دارد. با این حال، هنگامی که جریان خون در قطعات کوچک قلب با استفاده از میکروسفرها یا یک "میکروسفر مولکولی" کاملاً استخراج شده اندازه گیری می شود، توزیع گسترده ای از جریان ها وجود دارد [1]. توابع چگالی احتمال جریان های منطقه ای در قلب در سگ ها، بابون ها، گوسفندان و خرگوش ها کاملاً گسترده است و از الگوی نشان داده شده برای بابون ها در شکل 4 پیروی می کند. هنگامی که قلب به قطعات بزرگ بریده می شود، عملکردهای چگالی باریک می شوند. هرچه تعداد قطعاتی که قلب بریده می شود بیشتر باشد، توزیع ظاهری جریان ها بیشتر است.

سمت چپ: توابع چگالی احتمال جریان های منطقه ای در قلب بابون در سه اندازه نمونه. نمونه های بزرگتر با تشکیل دانه های قطعات مجاور به دست می آیند. RD = میانگین انحراف استاندارد، m = میانگین جرم نمونه ها. راست: رابطه فراکتال بین پراکندگی نسبی RD جریان های منطقه ای در این قلب (اندازه گیری شده با چگالی رسوب یک میکروکره) و جرم m قطعاتی که قلب به آنها تقسیم شده است. سمت راست ترین نقطه برای رگرسیون استفاده نشد. معادله رگرسیون RD(m) = 16. 9m-0, 249 و r = 0. 996 است.

اندازه گیری پراکندگی جریان های منطقه ای، انحراف استاندارد تقسیم بر میانگین است که ما آن را پراکندگی نسبی می نامیم (و به عنوان ضریب تغییرات نیز شناخته می شود). رابطه بین پراکندگی نسبی و جرم تک تک تکه های قلب بابون که در آن مشاهدات انجام شده است در شکل 4، پانل سمت راست نشان داده شده است. جدا از بزرگترین قطعات، داده ها بر روی یک خط مستقیم قرار می گیرند که توسط قانون قدرت برازش می شود

RD (m) = RD (m = 1) ⋅ m 1− D_متر

که در آن RD (m = 1) پراکندگی نسبی در جرم دلخواه 1 گرم است و D_mبعد فراکتالی است که شیب رابطه را توصیف می کند. این از نظر شکل مشابه (2) است. در حیوانات مختلف مقادیر D برای داده ها بدون اصلاح نویز اندازه گیری حدود 1. 2 است.

آیا یک عبارت رابطه Log-Log ثابت می کند که پدیده فراکتال است؟

در این مرحله ، با در نظر گرفتن داده های شکل 4 در مقدار چهره ، می توان گفت که توضیحات ورود به سیستم (3) نه تنها کافی است بلکه بسیار خوب است. اما روابط ورود به سیستم در موقعیت های مختلف بسیار متداول است ، و کاربران توطئه های ورود به سیستم اغلب به استفاده از چنین توطئه هایی برای پنهان کردن سر و صدا متهم می شوند. بنابراین سؤال این است ، "آیا می توان از توضیحات فراتر از توضیحات استفاده کرد؟"رابطه ورود به سیستم بین RD و اندازه قطعه حاکی از یک اصل فراکتالی از خود شفقت در مقیاس گذاری است. بازگشت اساسی چه می تواند باشد؟

شبکه های پر کردن فضا

درختانی که در فضای باز و برف های فراکتال شاخه می شوند ، فضای گسترش دارند. اما قلب و ریه ها و سایر اندام ها فضای محدودی را اشغال می کنند و شبکه های اعصاب یا عروق که به آنها نفوذ می کند ، خدمتگزاران به سرنشینان اصلی فضا ، سلولهای پارانشیمی عملکرد اندام هستند. در حقیقت ، شکل ساختار شبکه ریز عروقی تقریباً توسط سلولهای اندام تعریف شده است. در عضله اسکلتی و قلبی مویرگها به موازات سلولهای عضلانی آرایش می شوند و برخی از شاخه های متقاطع دارند. همین نوع رابطه استاد برده را می توان برای اعصاب ، مجاری ترشحی ، لنفاتیک ، درخت برونش و غیره مشاهده کرد. به طور کلی ، این سازه های بنده به فضای بینابینی نفوذ می کنند و توسط آن فضا شکل می گیرند. این امر کاملاً قابل درک است اگر کسی به سیستم نگاه کند که در رشد خود با نیاز به عصب یا سیستم عروقی برای حمله به بینابینی و پیروی از خطوط کمترین مقاومت ، مانند جریان های الکتریکی ، چه در میوکارد ، یا پیروی از خطوط کمترین مقاومت ، هدایت می شود. بین ابرها و زمین. این مسئله منجر به این سؤال می شود که آیا رشد فراکتال و شکل شبکه عروقی می تواند ناهمگونی های مشاهده شده جریان در قلب را ایجاد کند.

پراکندگی جریان در یک شبکه انشعاب نامتقارن

ما می خواهیم دریابیم که توزیع جریان در یک شبکه شاخه ای از کشتی ها چیست. اولین شبکه ای که ما در نظر می گیریم یک شبکه انشعاب نامتقارن است. ما با یک کشتی اصلی ساقه از طول L شروع می کنیم₀و شعاع r₀بشراین کشتی والدین دو کشتی دختر است که طول آنها را با یک عامل f کاهش می دهد_Lو f_sبا توجه به L₀طول مربوطه آنها پس از آن است_LL ₀(اشتراک L نشان دهنده کشتی طولانی تر است) و F_LL ₀(اشتراک S نشان دهنده کشتی کوتاه تر است). شعاع کشتی دختر طولانی تر AR است₀و آن کشتی کوتاه تر BR می شود₀بشراین دو عروق دختر نسل اول شاخه ها را تشکیل می دهند (شکل 5 را ببینید). هر یک از نسل اول شاخه ها مجدداً شاخه ها را تشکیل می دهند و شاخه های دخترشان (نسل دوم شاخه ها) نسبت های یکسانی از طول و شعاع والدین خود (نسل اول شاخه ها) را دارند ، همانطور که در بالا توضیح داده شد. مقاومت هر بخش شاخه R متناسب با طول تقسیم شده توسط R 4 (قانون Poiseuille) است ، به طوری که r = k · l/r 4 ، جایی که k = 8η/π ، با η = ویسکوزیته. سپس مقاومت R را در نسل 0 تا 2 مشاهده می کنیم همانطور که در شکل 6 نشان داده شده است.

یک شبکه انشعاب نامتقارن با بازگشت فراکتال برای طول شاخه و شعاع.

توزیع مقاومت (پانل سمت چپ) و جریان (پانل سمت راست) در یک شبکه انشعاب نامتقارن. دو سطح انشعاب نشان داده شده است.

انشعاب برای نسل های N ادامه دارد ، با f_L, f_s، A و B ثابت برای همه نقاط شاخه. این درخت انشعاب نمایانگر قسمت شریانی شبکه است. آن را به یک درخت وریدی به همان شکل متصل می کند. هر شاخه در شبکه شریانی دارای یک شاخه مربوطه در شبکه وریدی با همان طول است. شعاع ورید مربوطه توسط یک عامل f افزایش می یابد_vاز شاخه شریانی. شاخه های انتهای مربوطه در درخت تتریکی و وریدی از طریق واحدهای مویرگی با مقاومت متناسب با شاخه انتهای شریانی متصل می شوند. اکنون هر نقطه شاخه ای را در شبکه شریانی و نقطه شاخه مربوطه در شبکه وریدی در نظر بگیرید. اختلاف فشار بین دو نقطه انشعاب وجود دارد که برای مسیر از طریق شاخه بلند (و درختی که تولید می کند) یکسان است ، مانند مسیر از طریق شاخه کوتاه (و درختی که تولید می کند). مقاومت برای درخت بسته به شاخه بلند متناسب با f است_L/4 در حالی که مسیر شاخه کوتاه متناسب با f است_s/ب 4. ما می خواهیم کسری از جریان را که از شاخه طولانی پایین می رود ، تعیین کنیم. البته کسری 1 - γ سپس از شاخه کوتاه پایین می رود. از آنجا که اختلاف فشار از یک شریانی به ونول زوج آن برای هر دو مسیر یکسان است و جریان به طور معکوس متناسب با مقاومت ما است

γ 1 - γ = F S A 4 F L B 4.

توزیع نسبی جریان بین دو شاخه به سطح شاخه یا مقدار مطلق مقاومت بستگی ندارد. اما مقاومت کل و جریان F₀برای یک فشار فشار معین به تعداد نسل انشعاب بستگی دارد. جریان های f که از شبکه بعد از انشعابات N در حال ظهور هستند

f = γ k (1 - γ) n - k f₀

جایی که k مقادیر عدد صحیح را از 0 تا n فرض می کند. نتیجه توزیع گسسته جریان است. فراوانی وقوع جریان K از سطح گسسته جریان n!/(k! (n - k)!) ؛کسری از نسل n از شاخه های دارای جریان K ، n!/[k! (n - k)! 2 n] است. جریان متوسط f_avپس از ان شاخه ها 2-n f است₀بشرتوزیع چگالی گسسته جریان برای سه مقدار γ در شکل 7 (فوقانی) و بازنمودهای شبه ای آنها در پانل پایین نشان داده شده است. توزیع ها گسترده تر می شوند و با افزایش γ بیشتر از 1/2 افزایش می یابد. پراکندگی نسبی Rd است

RD = 2 N (γ 2 + (1 - γ) 2) N - 1.

تعداد انتهای شریانی n 2 n و n = log (n)/log (2) است. بنابراین ما برای RD پیدا می کنیم

rd = n (γ 2 + (1 - γ) 2) log (n) ∕ log (2) - 1.

این بیان مبتنی بر مبتنی بر شکل (2) نمی تواند کاهش یابد.

پانل های فوقانی: چگالی گسسته فرکانس وقوع یک مقدار جریان خاص. مجموع ارتفاعات میله ها یکی است. پانل های پایین: بازنمایی "شبه مداوم" از چگالی داده شده در پانل های فوقانی. این با تقسیم فرکانس در هر جریان توسط دامنه محور جریان که در آن نقاط به آن جریان خاص نزدیکتر از همسایگان خود بودند ، بدست آمد. برای بالاترین و کمترین جریان از فاصله تا نزدیکترین جریان برای تقسیم فرکانس استفاده شد.

ما این عبارت را در مورد پراکندگی نسبی جریان های منطقه ای که در قلب یک بابون اندازه گیری می شود ، قرار دادیم (شکل 8 را ببینید). برای شروع ، فرض کردیم که تعداد کل انشعابات N /log 2 با تعداد قطعات log /log 2 بود. با این حال ، هنگامی که فرض کردیم که نسل اول انشعاب متقارن است و به پراکندگی جریان ها کمک نمی کند ، تناسب بسیار بهبود یافته است. این مقادیر γ را در حدود 0. 45 نشان داد. شیب رابطه تقریباً درست بود. با این حال ، ما باید توجه داشته باشیم که RD در مدل پس از انشعاب n بار در درخت شریانی است. به منظور تفسیر این جریان ها به عنوان پرفیوژن منطقه ای ، فرض اضافی باید انجام شود که هر کشتی پس از شاخه های N حجم مساوی از بافت را تأمین می کند و بافت در نمونه برداری دقیقاً به مناطق تأمین کننده عروق تقسیم می شود. این مدل از بریدن بافت در قطعاتی که شامل بخشی از مناطقی است که از بیش از یک شریان نسل مناسب تهیه می شود ، پاسخ نمی دهد. اجازه دادن به نسل اول متقارن تا حدی برای این منبع خطا جبران می شود.

تناسب مدل هندسه عروقی فراکتال به پراکندگی نسبی جریان در قلب بابون شکل 4. n تعداد قطعاتی است که قلب آن بریده شده است. منحنی نظری (خط مداوم) متناسب با داده ها (نقاط و خط متراکم) نسبتاً خوب است. یک رابطه خط مستقیم فراکتال (معادل آن در شکل 4 اما استفاده از قطعات n به جای m ، جرم قطعات) به خوبی متناسب است به جز اینکه نقطه برای n = 4 دور از خط است.

این الگوریتم ساده برای یک شبکه انشعاب باعث ایجاد عملکرد چگالی احتمال مناسب جریان منطقه ای و شیب تقریباً مناسب می شود. شیب تمایل دارد بیش از حد در وضوح مکانی ظریف تر صاف شود. این مدل توضیحی ساده لوحانه برای توزیع جریان ارائه می دهد ، اما ثابت نمی کند که این شبکه خاص فراکتال سیستم عروقی قلب را توصیف می کند. این احتمال وجود دارد که تعداد کمی از مدل های مختلف فراکتال می توانند پراکندگی نسبی صحیح را ایجاد کنند.

توزیع جریانهای منطقه ای در قلب بابون های بیدار بر روی یک سری از مشاهدات انجام شده در زمان های مختلف به نظر نمی رسد که گاوسی باشد ، بلکه برخی از آنها بودند که از توزیع گاوسی (اوج بالاتر). در حیوانات خاص توزیع ها به طور مداوم کمی چپ و در بعضی دیگر کمی راست بودند. مطمئناً شبکه فراکتال که در بالا توضیح داده شد ، نمی تواند از سمت چپ استفاده شود زیرا برای تمام مقادیر γ متفاوت از 0. 5 ما توزیع های راست را دریافت می کنیم. بنابراین با نگاهی به لحظات بالاتر توزیع ممکن است بینش بیشتری در مورد شکل شبکه عروقی مورد نیاز برای ارائه نتایج مشاهده شده داشته باشد.

یک رویکرد بعدی برای اندازه گیری طول انشعاب ، شعاع ، زاویه های انشعاب و غیره است. انگلسون و همکاران.[6] اندازه گیری طول و قطر در عضله Spinotrapezius در موش ها را انجام داده است ، همانطور که Suwa و همکاران.[26] و Suwa و Takahashi [25] ، روی Mesentery و کلیه. سووا و همکاران. نه تنها طول و قطر ، بلکه ضخامت دیواره و در بعضی موارد فشارهای داخل عروقی و در کلیه ، تعداد گلومرول های متصل به شریانی های بعد داده شده. برای اینکه بتوانید شبکه ریز عروقی را مدل کنید ، چنین کارهایی باید روی اندام های دیگر انجام شود.

فراکتال در سایر سیستم های بیولوژیکی

تصویر [16] Mandelbrot از یک شبکه برونشی فراکتال ، پر کردن فضا در دو بعد ، الهام بخش است که این رویکردها را روی ریه اعمال کند. یک رویکرد اولیه نسبتاً موفق توسط لفور ارائه شده است [10]. مثال دیگر در ماهیت فراکتال سطح آلوئولار است که توسط ریگوت اندازه گیری می شود [19]. کار ریگوت به این دلیل تحریک کننده است که طول ظاهری سطح آلوئولار بریده شده در نقشه ورود به سیستم در برابر طول چوب اندازه گیری خمیده است ، و به سمت یک فلات برای طول چوب اندازه گیری کوچک تمایل دارد. می توان این موضوع را به عنوان یک رویکرد برای یک حد جسمی فکر کرد. در این حالت ، از آنجا که حداقل شعاع انحنای یک غشای سلولی حدود 300 Å است ، زبری در فرکانس های مکانی بالاتر فقط با پارگی غشاها ممکن است رخ دهد. احتمال دیگر این است که به خودی خود واقعاً فراکتال نیست ، اما مانند منحنی شکل 8 ، دارای یک انحنای ذاتی است که از یک منبع اساساً فراکتال ناشی می شود. انحنای طرح ما از شکل 8 ، مانند داده های ریگوت ، به ما یادآوری می کند که سیستمی که در یک ویژگی فراکتال است ، نیازی به قوانین قدرت برای هر جنبه ای از رفتار کلی خود ندارد.

سینتیک

در قلب ، مانند سایر اندام ها ، می توان انتظار داشت پدیده های حمل و نقل ویژگی های فراکتالی را نشان دهند. مثال اول حرکت براون است. انتشار مانع ، همانطور که برای املاح های آبگریز که به مشارکت فیبری بینابینی نفوذ می کنند ، می توان فراکتال نیز انتظار داشت. از علاقه و کنجکاوی بیشتر رفتار فراکتالی کانال های یونی است. لیبوویچ و همکاران.[12] نشان داده اند که سلولهای اندوتلیوم قرنیه دارای کانال های یونی هستند که زمان باز و بسته شدن آنها به صورت وحشیانه رفتار می کند. از این گذشته ، مناسب بودن رابطه فراکتال با نوسانات مشاهده شده بهتر از متناسب با مدل هایی بود که از یک ، دو یا سه سینتیک مارکوویان حالت استفاده می کردند. پروتئین های بزرگ احتمالاً سینتیک فراکتال دارند. Careri و همکاران.[3] خاطرنشان كرد كه دامنه ثابت نرخ مشاهده شده گسترده است. جای تعجب آور نخواهد بود اگر تمام پروتئین های یکپارچه و حامل های یونی از سینتیک فراکتال در محدوده محدود پیروی کنند. این مورد در مورد واکنشهای کلسیم با فتوپروتئین کلسیم ، آکوورین [2] و همین نوع پدیده ها ممکن است در تنوع ثابت نرخ برای ارتباط و تفکیک اسیدهای چرب از آلبومین نشان داده شود [23] [28]بشراین رفتار فراکتال ممکن است برای انتقال اسیدهای چرب در قلب مهم باشد زیرا اسیدهای چرب خون به آلبومین متصل هستند. ما در آزمایشگاه خود دریافتیم که استخراج اسیدهای چرب در هنگام عبور از ترانس کپی در غلظت های آلبومین بالا ، مشخصه یک فرآیند اتصال یا حمل و نقل اشباع شده کند می شود [27].

آشوب

فراکتال ها با یکی دیگر از شاخه های ریاضیات اخیراً در حال رشد ، یعنی پویایی غیرخطی و هرج و مرج ، پیوندهایی دارند. گفته می شود که یک سیستم در هنگام اداره معادلات قطعی (که می تواند نسبتاً ساده باشد) رفتار هرج و مرج را نشان می دهد ، اما به نظر می رسد به شکلی نامنظم رفتار می کند و هرگز به یک رفتار دوره ای پایدار نمی رسد. بسیاری از این سیستم ها توصیف شده اند و توضیحات مربوط به پدیده های فیزیک ، شیمی ، پویایی جمعیت و غیره را ارائه داده اند. مسیرهای انجام شده توسط سیستم از طریق فضای دولتی آن نامنظم اما محدود است. این مسیرها می توانند مداوم یا ناپیوسته باشند و به نظر می رسد هندسه فراکتال دارند [16]. در مورد فراکتال ها ، الگوریتم های بازگشتی نقش مهمی در زمینه هرج و مرج دارند.

بنابراین کشف شده است که فرآیندهای به ظاهر آشفته را می توان به طور قابل ملاحظه ای سازماندهی کرد و عبارات ریاضی قطعی ساده راه حل هایی دارند که به نظر می رسد آشفته باشند. بی نظمی ظاهری راه حل ریاضی با مشاهده اینکه تحت شرایط مشخص می توان توزیع های احتمال را برای راه حل های مورد انتظار تعریف کرد، تعدیل می شود.

چرخه های رشد؛شکارچیان و طعمه ها و غیره

Peitgen و Richter [18] تصویر خوبی از مدل رشد آشفته جمعیت ارائه می دهند که پویایی Verhulst یا رشد لجستیک نامیده می شود. دوره تکرار یک سال و عبارت کلی برای جمعیت x است_Nدر سال N با معادله تفاوت تعیین می شود

x N + 1 = f ( x N ) = ( 1 + r ) x N - r x N 2

که r یک پارامتر رشد و x است_Nاندازه جمعیت به عنوان کسری از حداکثر مقدار پایدار آن است. وقتی رشد آن در یک تکرار (مثلاً یک سال) به x می رسد_Nبیش از x_حداکثر, then the next iteration produces a decrement. High values of r (>2) produce oscillatory phenomena, and values of r>2. 57 منجر به تغییر ظاهری آشفته و غیر دوره ای اندازه جمعیت در طول زمان می شود. فرآیند Verhulst نشان می دهد که حتی در شرایط آشفته، دوره هایی از رفتار تقریباً دوره ای به دنبال دوره هایی از هرج و مرج ظاهری وجود دارد.

آشفتگی

تشخيص آشفتگي در سيالات به طور قابل توجهي دشوار بوده است. هر دو فراکتال [16] و دینامیک آشوب [24] برای توصیف و توضیح تلاطم در سیالات استفاده شده اند. مک دونالد [13] جریان آشفته را مشخص کرد. این جریان کاملاً نیوتنی نبود، نه آن چیزی که ما در آن زمان به عنوان تلاطم تصور می کردیم (جایی که در یک منطقه اختلاط کامل وجود داشت) بلکه چیزی در این بین بود. این چیزی در این بین در محل تلاقی رودخانه ها با اعداد رینولدز صدها تا هزاران دیده می شود. گرداب های جلبک در جریان های همگرا شواهدی از تلاطم را نشان می دهد، اما جلبک های دو جریان همگرا به ندرت در سطح مشترک که تنها یک یا دو فوت عرض بیش از صدها یارد باقی می ماند، مخلوط می شوند. این را می توان ناپایداری پایدار نامید و نشان می دهد که آشفتگی لزوماً به معنای اختلاط در مناطق وسیع نیست.

تلاطم می تواند اساس دوچرخه سواری محدود باشد همانطور که می توان با آب در یک لوله استوانه ای جریان یافت. با بالا بردن سر فشار ، جریان را می توان افزایش داد و تعداد رینولدز افزایش می یابد تا اینکه در یک عدد بحرانی رینولدز که به ماهیت دقیق سیستم بستگی دارد ، جریان در ورودی لوله آشفته می شود. شروع تلاطم مقاومت را افزایش می دهد و جریان را کند می کند و در شرایط مناسب ، تلاطم در ورودی را به یک رژیم جریان لمینار پایدار می رساند و به همین دلیل با حرکت بولوس تلاطم در امتداد لوله باقی می ماند. با این حال ، هنگامی که بولوس آشفته از انتهای دیگر لوله خارج می شود ، مقاومت کاهش می یابد ، جریان با همان فشار فشار بالا می رود و همان چرخه وقایع خود را تکرار می کند. در این شرایط ، بولوس آشفته و مناطق جریان پایدار در مجاورت نزدیک بودند اما با این وجود رفتار متمایز خود را حفظ می کردند. در این روش هرج و مرج باعث ایجاد رویدادهایی می شود که در زمان و مکان ساخته شده اند.

سیستمهای کنترل

انواع سیستم های کنترل نوسانات تولید می کنند. تمام کاری که باید انجام دهد این است که سود را در یک کنترلر متناسب یا مشتق برای ایجاد نوسانات بسیار بالا بچرخانید. ممکن است انتظار شود که برخی از سیستم های کنترل نوسان رفتار هرج و مرج را نشان دهند. چیزهای مشابه را می توان با تکنیک های عددی مشاهده کرد که در آن اندازه مرحله یکپارچه سازی خیلی بزرگ یا با انواع مختلف بهینه ساز است. همه این موارد را می توان در نوساناتی قرار داد که دارای ساختار هستند و شبیه سر و صدای سفید نیستند.

رفتار هرج و مرج در اندامهای هیجان انگیز

فیبریلاسیون دهلیزی و بطنی پدیده های کلاسیک میوکارد است که هرج و مرج به نظر می رسد. بیانیه بالینی در مورد ضربان قلب در فیبریلاسیون دهلیزی این است که به طور نامنظم نامنظم است ، و مشاهدات این است که سطح دهلیز به صورت ظاهری هرج و مرج در حال پالس است. با این حال ، مطالعات مربوط به پدیده های Reentry و فیبریلاسیون بطنی نشان می دهد که الگوهای تحریک وجود دارد [21] دوباره نشان می دهد که این هرج و مرج سازمان یافته است. یک الگوریتم فراکتال یا هرج و مرج برای این کار توسط گلس و همکاران شرح داده شده است.[7]بسیاری از کاربردهای جالب دیگر هرج و مرج در کتاب هرج و مرج ویرایش شده توسط هولدن [8] در معرض دید است. کتاب [7a] Gleick با همین عنوان ، قابل خواندن ترین دیدگاه از توسعه و ماهیت این زمینه را ارائه می دهد.

نتیجه

غالباً ما الگوهای زیست شناسی را می بینیم که هندسه فراکتال اساسی را نشان می دهد. می توان پدیده های هندسه فراکتال سیستم ها و رفتارهای فراکتال یا هرج و مرج را به عنوان ابزاری جدید برای مدل سازی پدیده های بیولوژیکی در نظر گرفت.

تصدیق

این کار توسط کمک های مالی NIH HL38736 و RR01243 و توسط Z. W. O. ، سازمان هلند برای پیشرفت تحقیقات خالص پشتیبانی شده است.

زندگینامه

جیمز B. Bassingthwaighte ، عکس و زندگینامه در زمان انتشار در دسترس نیست.

J. H. C. M. Van Beek ، عکس و زندگینامه در زمان انتشار در دسترس نیست.

اطلاعات مشارکت کننده

جیمز B. Bassingthwaighte ، مرکز مهندسی زیستی ، دانشگاه واشنگتن ، سیاتل ، WA 98195 ، ایالات متحده.

J. H. G. M. Van Beek ، آزمایشگاه فیزیولوژی ، دانشگاه رایگان ، آمستردام ، هلند.

منابع

[1] Bassingthwaighte JB ، و همکاران. اعتبار رسوبهای میکروسفر برای جریان میوکارد منطقه ای. عامرJ. Physiol. 1987 ؛جلد253: H18 4-H193.[مقاله رایگان PMC] [PubMed] [Google Scholar]

[2] Blinks Jr. اندازه گیری غلظت یون کلسیم با فتوپروتئین ها. آن راNY Acad. علمی1978 ؛جلد307: 71-85.[Google Scholar]

[3] Careri G ، Fasella P ، Gratton E. وقایع آماری در آنزیم ها: یک ارزیابی فیزیکی. منتقدمرور. بیوشیم1975 ؛جلد3: 141 164.[PubMed] [Google Scholar]

[4] Dewdney AK. تفریحات رایانه ای: کوه های فراکتال ، گیاهان پیوند و سایر گرافیک های رایانه ای در پیکسار. علمیعامر1986 ؛جلد255: 14-20.[Google Scholar]

[5] Einstein A. Uber die von der molekularkinetischen نظریه der wärme geförderte bewegung von in ruhenden flüssig-keiten sussendierten teilchen. آن رافیزیک1905 ؛جلد17: 549-560.[Google Scholar]

[6] Engelson ET ، Schmid-Schönbein GW ، Zweifach BW. ریزگردها در عضله اسکلتی. ii. آناتومی شریانی در موشهای نرمال و فشار خون بالا فشار خون بالا. ریزگردهاres1986 ؛جلد31: 356-374.[PubMed] [Google Scholar]

[7] Glass L ، Shrier A ، Bélair J. ریتم های قلبی آشوب آور. در: هولدن AV ، ویراستار. آشوب. انتشارات دانشگاه پرینستون ؛پرینستون ، نیویورک: 1986. صص 237-256.[Google Scholar]

[7a] Gleick J. ساخت یک علم جدید. R. R. Donnelly ؛شیکاگو ، IL: 1987. هرج و مرج.[Google Scholar] [8] هولدن AV ، ویراستار. آشوب. انتشارات دانشگاه پرینستون ؛پرینستون ، نیویورک: 1986. [Google Scholar]

[9] Julia G. Sur L'Ereration des fonctions jistrationnelles. J. Math. Pures Appl. 1918 ؛جلد8: 47-245.[Google Scholar]

[10] Lefévre J. بهینه سازی تلنوشی یک مدل فراکتالی از بستر شریانی ریوی. ج. بیول1983 ؛جلد102: 225-248.[PubMed] [Google Scholar]

[11] Liebovitch LS ، Fischbarg J ، Konirek JP ، Todorova I ، Wang M. مدل Fractal از سینتیک یونی کانال. بیوشیمبیوفیزActa1987 ؛جلد896: 173-180.[PubMed] [Google Scholar]

[12] Liebovitch LS ، Fischbarg J ، Konirek JP. سینتیک کانال یون: یک مدل مبتنی بر مقیاس بندی فراکتال به جای فرآیندهای چند مرحله ای مارکوف. ریاضی. زیست شناسی. 1987 ؛جلد84: 37-68.[Google Scholar]

[12a] Lindenmayer A. مدل های ریاضی برای فعل و انفعالات سلولی در توسعه. ii. رشته های ساده و انشعاب با ورودی های دو طرفه. ج. بیول1968 ؛جلد18: 300-315.[PubMed] [Google Scholar]

[13] مک دونالد دا. جریان خون در شریان ها. آرنولد ؛لندن ، انگلیس: 1960. [Google Scholar] [14] Maddox J. جهان به عنوان یک ساختار فراکتال. طبیعت1987 ؛جلد329: 195.[Google Scholar]

[15] Mandelbrot B. Fractals: فرم ، شانس و بعد. فریمنسانفرانسیسکو ، کالیفرنیا: 1977. [Google Scholar]

[16] Mandelbrot B. هندسه فراکتال طبیعت. فریمنسانفرانسیسکو ، کالیفرنیا: 1983. [Google Scholar]

[17] Oppenheimer PE. طراحی زمان واقعی و انیمیشن گیاهان و درختان فراکتال. گرافیک کامپیوتری. 1986 ؛جلد20: 55-64.[Google Scholar]

[18] Peitgen HO ، Richter Ph. زیبایی فراکتال ها: تصاویر سیستم های دینامیکی پیچیده. اسپرینگر ؛برلین ، آلمان: 1986. [Google Scholar]

[19] Rigaut JP. یک فرمولاسیون تجربی مربوط به طول مرزی با وضوح در نمونه هایی که ابعاد فراکتالی غیر ایده آل را نشان می دهد. J. Microsc. 1984 ؛جلد133: 41-54.[Google Scholar]

[20] Sander LM. رشد فراکتال. علمیعامر1987 ؛جلد256: 94-100.[Google Scholar]

[21] Smeets JLRM ، Allessie MA ، Lammers WJEP ، Bonke Fim ، Hollen J. طول موج ضربه قلب و آریتمی مجدد در دهلیز خرگوش جدا شده: نقش ضربان قلب ، فرستنده های خودمختار ، دما و پتاسیم. circ. res1986 ؛جلد58: 96-108.[PubMed] [Google Scholar]

[22] اسمیت AR. گیاهان ، فراکتال ها و زبانهای رسمی. گرافیک کامپیوتری. 1984 ؛جلد18 [Google Scholar]

[23] Spector AA ، Fletcher JE ، Ashbrook JD. تجزیه و تحلیل اتصال اسید چرب بدون زنجیره بلند به آلبومین سرم گاو با تعیین ثابت تعادل گام به گام. بیوشیمی. 1971 ؛جلد10: 3229-3232.[PubMed] [Google Scholar]

[24] Sreenivasan K. انتقال و تلاطم در جریان سیال و هرج و مرج کم بعدی. در: دیویس SH ، لوملی JL ، سردبیران. مرزها در مکانیک سیالات. اسپرینگر ؛نیویورک ، نیویورک: 1985. ص. 41. [Google Scholar]

[25] Suwa N ، Takahashi T. تجزیه و تحلیل مورفولوژیکی و مورفومتریک گردش خون در فشار خون بالا و کلیه ایسکمیک. Urban & Schwarzenberg ؛مونیخ ، آلمان غربی: 1971. [Google Scholar]

[26] Suwa N ، Niwa T ، Fukasawa H ، Sasaki Y. تخمین شیب فشار خون داخل عروقی با تجزیه و تحلیل ریاضی بازیگران شریانی. Tohoku J. Exp. مد1963 ؛جلد79: 168-198.[PubMed] [Google Scholar]

[26a] Vicsek T ، Szalay AS. توزیع فراکتال کهکشان های مدل شده توسط یک فرآیند تصادفی از نوع خودکار و اتم قرار می دهد. فیزیکروحانی لت. 1987 ؛جلد58: 2818 2821.[PubMed] [Google Scholar]

[27] Van der Vusse GJ ، Little SE ، Bassingthwaighte JB. حمل و نقل ترانسندوتلیال اسید آراشیدونیک و پالمیتیک در قلب خرگوش جدا شده. J. Mol. کاردیول سلولی. 1987 ؛جلد19 (عرضه III) (چکیده) [Google Scholar]

[28] Weisiger R ، Gollan J ، Ockner R. گیرنده آلبومین در سطح سلول کبد ممکن است واسطه جذب اسیدهای چرب و سایر بسترهای محدود آلبومین باشد. علوم پایه. 1981 ؛جلد211: 1048-1051.[PubMed] [Google Scholar]