هندسه

تصاویر سیستم های دینامیکی غیرخطی به طور معمول فراکتال هستند. در اینجا ما منشأ و معنای این اصطلاح را بررسی می کنیم.

مجموعه های مبدا و کانتور

اصطلاح Fractal توسط Mandelbrot (پس از فراکتوس لاتین) انتخاب شد تا اشیاء نامنظم و پراکنده را نشان دهد. اینها اغلب اما لزوماً از ابعاد مقیاس بندی کسری برخوردار نیستند و سطح این اشیاء قابل تشخیص نیست. نمونه های دیدنی از فراکتال ها مانند مجموعه های جولیا و ماندلبوت اغلب وقتی فکر می کند به فراکتال ها فکر می کند ، به ذهن متبادر می شود ، اما آنها بسیار قدیمی تر و ثروتمندتر از این مثالها هستند. تقریباً یک قرن قبل از اختراع کلمه فراکتال ، پایه های این شاخه ریاضی تأسیس شد و در اینجا تقریباً مفصل است.

در اواخر قرن نوزدهم ، کانتور تئوری مجموعه را تأسیس کرد ، مطالعه ای از مجموعه های انتزاعی از اشیاء و روابط بین این مجموعه ها. سایر صفحات موجود در این وب سایت از تئوری مجموعه استفاده می کنند و برای پیشینه خوب در مورد این موضوع به "تئوری مجموعه ساده لوح" توسط Halmos مراجعه کنید. از نظریه مجموعه ، نتیجه گیری های جالب توجه می یابیم که پایه و اساس هندسه فراکتال را ایجاد می کند ، بنابراین برای درک دومی بهتر است چند جنبه اصلی از اولی را بررسی کنیم.

نتایج تعجب آور در تئوری مجموعه فراوان است ، اما یکی از مهمترین آنها در اینجا مربوط به شمارش تعداد عناصر است. به نظر می رسد که همه مجموعه های نامتناهی برابر نیستند: به همان اندازه عناصر مجموعه ای از اعداد مثبت وجود دارد زیرا اعداد منطقی وجود دارد (مقدار نامحدودی از هر یک) اما عناصر بسیار بیشتری از مجموعه اعداد واقعی وجود دارد تا هر یک از آنهادو مجموعه دیگراثبات مورب ظریف برای این کار ارزش دیدن در جای دیگر را دارد ، زیرا دوباره در اشکال دیگر دوباره ظاهر می شود (به عنوان مثال در تئوری های محاسبه تورینگ).

یک مجموعه مخصوصاً جالب به عنوان مجموعه میانه Cantor مجموعه $ C $ شناخته می شود. این مجموعه با جزئیات در نظر گرفته خواهد شد زیرا بسیاری از مهمترین جنبه های فراکتال را نشان می دهد اما نسبتاً ساده است و در یک خط وجود دارد.$ c $ به شرح زیر ساخته شده است: فاصله بسته را در Reals $ [0 ، 1] $ بگیرید و از این فاصله باز سوم میانه ، یعنی [0 ، 1] - (1/3 ، 2/3) $.

اکنون این روند را برای هر فواصل بسته باقی مانده تکرار کنید ،

و غیره AD Infinitum.$ c $ مجموعه اعدادی است که پس از تعداد نامحدودی از این مراحل باقی مانده است. این مجموعه قابل توجه است: پس از n مراحل حذف سوم داخلی ، $ ( frac)^n $ طول کل باقی مانده است. بنابراین $ c $ 0 $ طول کل دارد: $ (2/3)^n تا 0 ؛مانند ؛n to infty $. اگر طول 0 دلار داشته باشد ، آیا $ c $ امتیاز دارد؟این در واقع ، به همان اندازه نقاط با فاصله اصلی بسته $ [1،0] $! این مجموعه کاملاً قطع شده است (هیچ نقطه ای به نقطه دیگر لمس نمی کند) و کامل (هر نقطه محدودیتی از مجموعه دیگر از امتیازات در $ C $ است).

این مجموعه را می توان با لاک پشت ، یک کتابخانه برنامه نویسی پایتون که برای کمک به آموزش برنامه نویسی به روشی بصری طراحی شده است ، ترسیم کرد. به نظر می رسد که کاملاً قادر به نقاشی های پیچیده فراکتالی نیز هست.

پرونده های . eps تولید شده توسط این برنامه تصاویر وکتور هستند و تبدیل ویدیویی به یک اندازه ثابت .png یا .jpg از نوع فایل مفید است. خوشبختانه کتابخانه تصویر پایتون توانایی فوق العاده ای در تشخیص و اصلاح انواع انواع تصویر دارد! من از برنامه زیر برای تبدیل . eps به پرونده های .png استفاده کردم:

پس از گردآوری این تصاویر .png در MP4 با استفاده از FFMPEG در Bash

این فیلم را می توان مشاهده و ویرایش کرد. در اینجا به عنوان یک . gif است (ffmpeg می تواند مستقیماً با تغییر نام پسوند به cantor_zoom. gif به طور مستقیم به GIF ها تبدیل شود ، اما اینها فشرده نشده و می توانند پرونده های بسیار بزرگی باشند)

As the number of recursive calls increases, the Cantor set becomes invisible. This should not come as a surprise, being that it is of measure $0$ as $n o infty$. Thus in order to obtain a viewable map with more recursive steps, vertical lines are used to denote the position of each point in the set. The following program accomplishes this by drawing alteating red and blue vertical lines at the start of where each set interval (at any given step) begins and so is only accurate with a relatively large value for the starting number of recursions (>4)پیش زمینه سیاه برای وضوح اضافه می شود و بار دیگر تعداد مراحل بازگشتی با مقیاس افزایش می یابد تا وضوح را حفظ کند.

با شروع از سطح 5 بازگشتی (کد موجود در اینجا) و اضافه کردن بازگشتی هر 30 فریم ، ما داریم

اکنون این یک نمونه خاص از یک مجموعه کانتور است ، اما موارد دیگری نیز وجود دارد: می توان به جای سوم و غیره نیمه های میانی را حذف کرد. مجموعه کلی کانتور $ c $ یک اتفاق مشترک در نقشه های غیرخطی است. دوره دو برابر شدن در نقشه لجستیک یک مجموعه کانتور را تشکیل می دهد ، اگرچه این یک سوم میانه نیست که در بالا مشاهده می شود

همچنین در نقشه هنون است.

منحنی های پر کردن فضا

ابعاد مجموعه کانتور چیست؟مجموعه های محدود امتیاز از ابعاد 0 $ $ است ، در حالی که خطوط از ابعاد 1 $ $ هستند.$ c $ کاملاً قطع شده است و به همین دلیل به نظر می رسد 0 $ $ ابعادی است ، اما با این وجود یک مجموعه نامتناهی از نقاط است که به یک منطقه خاص محدود می شود. بنابراین $ c $ دارای ویژگی های هر دو بعد صفر و یک است. آیا هر منحنی دیگری نیز خصوصیات ابعاد متعدد را نشان می دهد؟

فراکتال ها را می توان به عنوان اجسامی تعریف کرد که ویژگی های چند بعدی را نشان می دهند، و از این نظر هر تصویر در این صفحه نمونه ای از منحنی است که به این سؤال پاسخ می دهد. اما قبل از کاوش در این موارد، مشاهده برخی موارد شدید ممکن است مفید باشد: منحنی ها (اشیاء 1 بعدی) که فضا را پر می کنند (2 بعد). یکی از اولین منحنی هایی که توسط Peano در اواخر قرن نوزدهم برای انجام این کار کشف شد را می توان در پایتون به شرح زیر توصیف کرد.

جایی که recursive_steps تا بی نهایت می رود. برای درک اینکه چگونه این فضا را پر می کند، مورد اصلی را مشاهده کنید:

و اولین مرحله بازگشتی، که در آن هر بخش خط از منحنی بالا با یک نسخه کوچکتر از کل منحنی جایگزین می شود:

پس از چند مرحله بازگشتی دیگر (در کل فقط 5 مرحله!)، وضوح فعلی دیگر قادر به تمایز بین یک خط و خط دیگر نیست و ما به چیزی نزدیک به یک منحنی پر کننده فضا دست یافته ایم.

این منحنی فضا را پر می کند اما از روی خود عبور می کند. در زیر منحنی دیگری برای پر کردن فضا از Peano آورده شده است که از خود عبور نمی کند اما ترسیم آن دشوارتر است. سیستم L که به نام کاشف خود Lindenmayer نامگذاری شده است، یک سیستم بسیار مفید برای توصیف نسل ساختارهای بازگشتی پیچیده تر است. برای یک نمای کلی از این سیستم کامل با مثال، اینجا را ببینید. منحنی Peano ممکن است در سیستم L با دنباله های X = 'XFYFX+F+YFXFY-F-XFYFX'، Y = 'YFXFY-F-XFYFX+F+YFXFY' تعریف شود که در آن X و Y دنباله های بازگشتی جداگانه هستند.'+' نشان دهنده گردش 90 درجه به چپ، '-' گردش به راست 90 درجه، و 'F' نشان دهنده حرکت به جلو است. این را می توان با تفسیر هر عنصر سیستم L به طور جداگانه به صورت زیر در پایتون پیاده سازی کرد:

و اولین بازگشت

در سطح بازگشتی پنجم،

همانطور که در اولین منحنی Peano وجود دارد، منحنی پر کردن فضای واقعی حاصل تعداد بی نهایت گام های بازگشتی است. این بدان معنی است که منحنی نیز بی نهایت طولانی است، زیرا طول در هر مرحله بازگشتی افزایش می یابد. طول نامتناهی پیش نیاز هر منحنی پرکننده فضا است.

توجه داشته باشید که هر دوی این منحنی ها هیچ جا قابل تمایز نیستند: هر نقطه از منحنی را انتخاب کنید، و آن یک زاویه است (به طور دقیق زاویه 90 درجه) و از آنجایی که زاویه ها غیر قابل تمایز هستند، منحنی غیر قابل تمایز است.

این منحنی ها خطی از طول نامحدود را به یک سطح نقشه می کنند و نقشه برداری مداوم است. اما مهمتر از همه ، این نقشه برداری یک به یک نیست (تزریق): چندین نقطه در خط شروع در همان نقاط در سطح نهایی قرار می گیرد. در حقیقت ، هیچ نقشه برداری تزریقی بین یک تا دو وجود ندارد ، و اثبات هندسی این در منحنی Peano دوم به شرح زیر است: نقطه را در گوشه سمت راست بالایی منحنی $ p_1 $ مشاهده کنید و نقطه مستقیماً زیر آن $ p_1$ به $ p_2 $. پس از هر بازگشت $ r $ ، فاصله بین این نقاط به 3 تقسیم می شود

[d (p_1 ، p_2) _ = frac>\ ؛\ frac to 0 ؛مانند ؛

to infty \ ؛\ d (p_1 ، p_2) to 0 ؛مانند ؛

to infty ]

اکنون منحنی های واقعی Peano بی نهایت بازگشتی هستند ، بنابراین این فاصله بین این نقاط 0 و بنابراین نقشه $ p_1 $ و $ p_2 $ به همان نقطه در فضای دو بعدی است و منحنی Peano را به یک نقشه برداری غیر تزریق می کند.

تصور کنید که در امتداد سطح ایجاد شده توسط یک منحنی Peano حرکت کنید. یک حرکت خودسرانه کوچک در یک جهت در طول این سطح لزوماً منجر به یک حرکت کوچک در امتداد خود منحنی نمی شود. در واقع می توان نشان داد که هرگونه نقشه برداری از دو تا یک بعد (که می تواند معادل تعریف منحنی پر کردن فضا باشد) در صورتی که نقشه برداری یک به یک و بر روی آن باشد ، هیچ چیز مداوم نیست. برای برخی از پیامدهای جالب این مورد در روشهای یادگیری ماشین مانند شبکه های عصبی ، به اینجا مراجعه کنید.

فراکتال ها به عنوان اشیاء ابعاد متعدد

منحنی Koch ممکن است به شرح زیر ترسیم شود

منحنی شروع می شود

و در هر بازگشتی ، هر بخش خط به قسمتهایی تقسیم می شود که شبیه کل است. در 2 ،

و بازگشت ششم:

اکنون این منحنی ظاهراً هواپیما را مانند منحنی های Peano نمی پوشاند. اما منحنی به نظر می رسد "فازی" ، و ممکن است حداقل بخشی از هواپیما را پوشش دهد. از این نظر ، به نظر می رسد که بین ابعاد قرار دارد. آیا این مورد است؟

درک بهتر از بعد تشابه حاصل می شود که معادل بعد هاسدورف برای اشیاء خود مشابه زیر است. ابتدا توجه داشته باشید که اشیاء اقلیدسی مانند یک نقطه، خط یا سطح دارای ابعاد توپولوژیکی یکسانی با بعد شباهت خود هستند: یک نقطه را نمی توان تقسیم کرد ($n^0 = 1$)، یک خط به طول n را می توان به $n^ تقسیم کرد. 1 = n$ قطعه، و یک مربع سطح به طول n را می توان به قطعات $n^2$ تقسیم کرد. اکنون توجه داشته باشید که منحنی کخ ممکن است به چهار قطعه مساوی تقسیم شود و این قطعات 1/3 دلار طول منحنی کل هستند. بعد تشابه آن است بنابراین

حال منحنی زیر را که به منحنی کوچ کوادریک معروف است در نظر بگیرید:

منحنی به صورت زیر شروع می شود:

در اولین بازگشت،

و بعد از 5 سطح بازگشتی،

بیایید بعد شباهت این منحنی را محاسبه کنیم: 8 قطعه وجود دارد که نسخه های کوچک تری از کل منحنی هستند و این قطعات 1/4 دلار طول کل منحنی هستند بنابراین بنابراین

این منحنی ابعاد کمی بزرگتر از منحنی کخ دیگر دارد، که می توان این گونه تعبیر کرد که این منحنی نسبت به منحنی کوخ اول به سطح نزدیکتر است. از نظر بصری، این منجر به ظاهر شدن یک خط خشن تر می شود، خطی که به نظر می رسد منطقه بیشتری را نسبت به خط اول پوشش می دهد. طول این منحنی ها چقدر است؟هر بازگشتی طول را اضافه می کند بنابراین درست مانند منحنی های پرکننده فضا، طول کل بی نهایت است.

همچنین می توانیم بعد مجموعه کانتور را محاسبه کنیم. دو مجموعه از نقاط وجود دارد که از نظر ساختار با کل مجموعه یکسان هستند که می توانیم آنها را L و R بنامیم. این مجموعه ها یک سوم فاصله اصلی را اشغال می کنند و بنابراین بعد $C$ برابر است با

که چیزی بین $0$ و $1$ است، و این با مشاهداتی مطابقت دارد که $C$ ویژگی های اشیاء بعدی $0$ و $1$ را نشان می دهد.

فراکتال ها به شکل هایی تعریف می شوند که بعد هاسدورف بیشتر از بعد توپولوژیکی آنهاست. برای اشکال ارائه شده در این صفحه، ابعاد Hausdorff و مقیاس بندی برابر است. بنابراین منحنی های این بخش همگی فراکتال هستند، همانطور که مجموعه Cantor و هر دو منحنی Peano پرکننده فضا هستند.

فراکتال های خود مشابه بیشتر

مثلث Sierpinski (که برای کسانی از شما که بازی Zelda را بازی کرده اید شبیه یک تری فورس است) یکی از متمایزترین فرکتال های ارائه شده در کتاب است. منحنی دو جهت دارد، به این معنی که ترسیم به صورت زیر پیش می رود:

نقطه شروع است

و هر خط به عنوان نسخه کوچکتر از کل در بازگشت اول تبدیل می شود

و بعد از چند سطح بازگشتی دیگر ، منحنی زیر تولید می شود:

فراکتال زیر یادآور ظاهر [اندوسیتوز] در سلول ها است

و در اینجا یک نسخه اصلاح شده از مثلث Sierpinski وجود دارد که باعث ایجاد برف های فراکتالی می شود:

توجه داشته باشید که برف های برفی کوچکتر در حاشیه برف های بزرگتر وجود دارد: اگر این افراد بی نهایت بی نهایت بودند ، تعداد نامحدودی از برف های کوچکتر و کوچکتر در این برف های کوچک وجود خواهد داشت. برای صرفه جویی در وقت ، تصویر قبلی در عمق بازگشتی 6 به دست آمد.

برای فراکتال های کلاسیک تر و تعدادی از ایده های بسیار جالب در مورد هندسه فراکتال به طور کلی ، به کتاب Mandelbrot مراجعه کنید.

بعد فراکتال از شمارش جعبه

بگویید یکی می خواهد ابعاد تصاویر را که به راحتی به عنوان مناطق خودی تعبیر نمی شوند ، همانطور که در بالا توضیح داده شد ، محاسبه کند. شاید ساده ترین راه برای انجام این کار تبدیل تعریف Kolmogorov از ابعاد به یک جعبه شمارش باشد که می تواند ثابت شود که همان حد Kolmogorov را دارد.

بیایید الگوریتم شمارش کادر را پیاده سازی کنیم. اول ، وارد کردن کتابخانه های مربوطه

اکنون برای شمارش جعبه:

که عملکرد یاور را فراخوانی می کند

یک تصویر باید به یک آرایه تبدیل شود که ورودی برنامه ما را تشکیل می دهد. موارد زیر یک تصویر را به یک آرایه تبدیل می کند و آن را آستانه می کند ، در این حالت برای پیکسل های خاکستری روی پس زمینه سفید.

توجه داشته باشید که این برنامه به جای سرعت برای وضوح طراحی شده است و کمی بیش از یک دقیقه طول می کشد تا برای یک تصویر 1500x2100 اجرا شود. یک نسخه سریعتر ممکن است در اینجا یافت شود ، که این بار با یک عامل دو نفر کاهش می یابد.

بیایید این برنامه را با استفاده از آن برای محاسبه ابعاد فراکتال یک شیء که در آن می توانیم به راحتی ابعاد Hausdorf (مقیاس گذاری) مانند مثلث Sierpinski را پیدا کنیم ، بررسی کنیم. برای این شی ، نصف طول در یک نسخه از نسخه اصلی که 1/3 "حجم" است ، بنابراین این یک بعد Hausdorff دارد

با استفاده از اندازه جعبه از 1 تا 500 پیکسل ، برنامه ما بازده

که به معنای ابعاد $ d تقریبا 1. 582 $ است که نزدیک به مقدار واقعی است. برای مثال دیگر ، ابعاد شباهت منحنی Koch $ log 4 / log 3 تقریبا 1. 26 $ است ، و با اندازه جعبه از 1 تا 500 پیکسل تخمین می زند ماشین حساب بعدی ما $ d = 1. 23 $ است که دوباره نسبتاً دقیق استواد

ما همچنین می توانیم از این برنامه برای تخمین ابعاد سایر فراکتال ها استفاده کنیم. طرح ورود به سیستم/ورود به سیستم از Fractal Snowflake (آخرین ارائه شده در بخش قبلی) است

و بعد مشخص شده است که D $ D تقریبا 1. 45 $ است.

فراکتال ها در دنیای طبیعی

هنگامی که من یک کودک بودم و فقط یاد می گرفتم که چگونه توابع چند جمله ای را ترسیم کنم ، یادم می آید که از این که چنین عملکردی که اشیاء در دنیای طبیعی را توصیف می کند ، بسیار ناامید شده است ، باید بسیار پیچیده و ناخوشایند باشد. تقریباً در هر شکل طبیعت ، از طرح درختان اطراف خانه پدر و مادرم گرفته تا الگوی یا گشت و گذار در ساحل تا شکل سحابی ها و کهکشانهایی که در کتابهای نجوم دیدم ، همانطور که فهمیدم ، برای تلاش برای استفاده مجدد از آن نامناسب بودندتوابع من در آن زمان می دانستم (توابع چند جمله ای و مثلثاتی).

من در آن زمان نمی دانستم ، اما دلیل خوبی از این امر وجود دارد. این اشکال غیر متمایز هستند: افزایش در مقیاس منجر به شکل ساده تر و خطی تر نمی شود. در عوض ، جزئیات بیشتر به نظر می رسد که به نظر می رسد. این شکل ها با استفاده از هندسه فراکتال از نظر ریاضی بهتر توصیف می شوند ، و چرا این امر باید از فراکتال هایی که در بالا کشیده شده است مشهود باشد. Fractals همچنین حاوی جزئیات بیشتری به نظر می رسد ، و بنابراین قابل تشخیص نیست. قوانین ساده اشکال پیچیده را مشخص می کنند.

فراکتال ها را می توان به عنوان اشکال نامنظم تصور کرد و با افزایش مقیاس ، منظم تر نمی شود ، و همچنین اشکال هایی که قطعات کوچکتر دارند که شبیه کل هستند. به ویژه نمونه قابل توجه هر دوی این خصوصیات در خطوط ساحلی وجود دارد. در اینجا تصویری از خلیج چساپیک گرفته شده از ماهواره ای که در موزه اسمیتسونیان یافت می شود ، آورده شده است.

مشاهده کنید که چگونه خلیج بزرگ دارای خلیج های کوچکتر است که اگرچه از نظر شکل یکسان نیستند ، اما از نزدیک به کل خلیج شباهت دارند. این ورودی ها به نوبه خود دارای ورودی های کوچکتر و غیره از حد وضوح این تصویر هستند. این امر باعث می شود خط ساحلی در مقیاس بزرگ نامنظم باشد اما مهمتر از همه این که این بی نظمی با افزایش مقیاس کاهش نمی یابد.

طول خط ساحلی در تصویر بالا کاملاً بستگی به میزان وضوح تصویر دارد: یک تصویر با وضوح بالاتر اندازه گیری بیشتری را به همراه خواهد داشت. این مورد در مورد اشیاء صاف که دوست داریم اندازه گیری کنیم ، مانند میز من می نویسم. علاوه بر این ، فراکتالها غیر متمایز هستند: حساب نمی تواند به طور دقیق در مورد این اشیاء اعمال شود زیرا در بسیاری از نقاط آنها منحنی مماس مشخصی ندارند.

این موضوع ، فراتر از هدف تلاش برای الگوبرداری از طبیعت با شکوه ترین شیوه چیست؟مشاهده این که بیشتر اشیاء در دنیای طبیعی به بهترین وجه به عنوان فراکتال توصیف می شوند ، مهم است زیرا دلالت بر این دارد که تقریباً تمام فرآیندهای دینامیکی طبیعی غیرخطی هستند. با توجه به اینکه اکثریت وسیع (وسیع) از کل کارکردهای ریاضی ممکن غیرخطی هستند ، ممکن است تعجب آور باشد که بیشتر چیزهایی که با گذشت زمان در دنیای طبیعی تغییر می کنند بهترین استفاده از توابع غیرخطی است. اما در نظر بگیرید که این به معنای تحقیق علمی ، چه گذشته و چه در حال حاضر است. تحولات ریاضی خطی مقیاس و افزودنی است: می توان آنها را به قسمت هایی تجزیه کرد و سپس مجدداً مونتاژ کرد. تحولات غیرخطی افزودنی نیست و بنابراین با تجزیه به قسمتها قابل تجزیه و تحلیل نیست.